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三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

上文介绍了和差化积公式的推导与轻松记忆法,可以让我们方便快捷地写出三角函数和差化积公式。

本文继续介绍积化和差公式,当然也是通过观察找出规律快速记忆积化和差公式。

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

三角函数积化和差公式

由于现在常见的积化和差公式是正余弦的积化和差公式,所以关于正切余切的积化和差公式这里就不再介绍了。

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

同组相异乘积的积化和差公式的记忆

虽然上面公式有四个,但实际上同组相异的两个公式可以归为一个公式。

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

同组异乘的积化和差公式

观察①式和②式,我们发现两者的积都是同组相异的乘积,并且也是相异的两个角,因此①式中只要把α和β两个角的位置互换就变成了公式②,同样②式中的α和β两个角的位置互换也就变成了公式①。

所以①和②这两个公式可以看作是一个公式,这样可以减少记忆的量。

这里还有个技巧需要介绍一下,可以快速记忆该公式:

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

根据sinαcosβ,我们运用前面介绍的正弦的两角和差公式,可以知道sinαcosβ是正弦两角和差公式的首项。而两角和差公式的末项是符号相反的,也就是正弦两角和的公式的末项与正弦两角差的公式的末项的和是零。

所以sinαcosβ就是正弦两角和差公式相加的结果,只不过两者相加的结果是sinαcosβ的2倍,所以sinαcosβ就是正弦两角和与两角差公式的和的一半。

这样也可以直接写出sinαcosβ的积化和差公式了。

同理,cosαsinβ也就是正弦两角和差公式中两角和与两角差公式中末项相减之后结果的一半。(由cosαsinβ开始的是cosα就可以判断此同组相异乘积是正弦两角和差公式中的末项,复习前面的介绍的方法,想一想为什么可以直接这样判断。)

根据正弦两角和差公式的口诀“正异同”,我们要让两个末项相加,且结果为正号,就是要正弦两角和公式减去正弦两角差公式,这样公式的首项就直接相减为零,只剩公式的两个末项相加,也就是cosαsinβ的2倍。

同组相同乘积的积化和差公式

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

同组同乘积化和差公式

观察等式左边,我们发现是同组相同三角函数形式的相乘组成的。

根据两角和差公式中的“余同异”,我们知道同组相同乘积是余弦两角和差公式中才有的,所以可以判断出同组相同乘积的积化和差公式一定是转换成余弦的两角和差公式进行的。

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

cosαcosβ一看就是两角和差公式中首项,因为cosαcosβ一开始是cosα,根据前面介绍的方法知道这是余弦两角和差公式展开式中的首项。

由于余弦两角和差公式中的“余同异”,我们知道其展开式中是同组相同乘积组成的,一个是“双余”,一个是“双正”,然后根据符号相异,然后写出公式。

因此可以据此直接写出同组相同乘积的积化和差公式。

cosαcosβ一定是α和β这两个角的余弦的两角和公式与两角差公式相加而得。(因为要消掉sinαsinβ,而余弦两角和差公式中“双正”为末项,且两角和与两角差公式的末项互为相反数,故两者和为零)

只不过余弦两角和差公式之和为2cosαcosβ,所以要积化和差的话cosαcosβ就是α和β这两个角的余弦的两角和差公式之和的一半。

同理sinαsinβ也是利用余弦的两角和差公式得出积化和差公式,并且要消掉cosαcosβ,这样就需要利用α和β这两个角的余弦的两角和差公式的差来求了。

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

双正积化和差公式

由于要保持sinαsinβ,就要消除cosαcosβ,而要保持结果为正号,所以根据余弦两角和差公式“余同异”也就是符号相异,可知就是cos(α-β)-cos(α+β)才可以得出2sinαsinβ。

由于公式一般是按照cos(α+β)放在首项,所以才有:

三角函数积化和差(三角和差化积公式及积化和差)

双正积化和差公式

总结

根据上面介绍,我们知道可以根据两角和差公式轻易地记忆积化和差公式。

1.根据积化和差公式中的积是同组同还是同组异确定是正弦两角和差公式还是余弦两角和差公式。

如果是“同组异”相乘,则是正弦两角和差公式形式。

如果是“同组同”相乘,则是余弦两角和差公式形式。

2.根据相乘形式的首个形式确定两角和公式与两角差公式的和或差的形式。

“同组异”相乘,如果首个是正弦形式,则为“和”形式。(只不过结果要除以2)

“同组异”相乘,如果首个是余弦形式,则为“差”形式。(结果要除以2)

“同组同”相乘,如果首个是余弦形式,则为“和”形式。(结果要除以2)

“同组同”相乘,如果首个是正弦形式,则为“差”形式。(结果要除以2)

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