双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

首先:更正并致歉。在上一篇文章《椭圆性质汇总》中,有细心读者发现文中出现两处错误,现声明更正如下:

1,椭圆直径性质证明过程更正如下:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

2,焦点三角形面积公式更正为:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

本人再次对文章编辑过程中出现的错误致歉,希望大家持续关注并积极指正。

上一篇文章已对椭圆性质进行了汇总,本文对高考考点中涉及的双曲线的部分性质进行汇总。

注:以下仅讨论焦点在x轴上的双曲线性质。

双曲线定义

1.第一定义

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值为常数2a的动点P的轨迹叫做双曲线,其中2a<|F1F2|。此为课本上的标准定义,不再详述。

2.第二定义

平面内到定点F(±c,0)的距离和到定直线l:x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a(e>1)的点的轨迹是双曲线。其中定点F(±c,0)为双曲线的左右焦点,定直线l:x=±a²/c为双曲线的左右准线。

对第二定义给出证明:

以右焦点和右准线为例:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。

双曲线方程

1.双曲线标准方程

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

不再详述。

2.双曲线参数方程

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

注:sec为正割函数,secθ=1/cosθ

其中θ为参数,θ的几何意义如下图:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

以双曲线实轴和虚轴为直径分别做圆C1(图中大圆)、C2(图中小圆),对双曲线上任一点M,做x轴垂线,垂足为A’。过A’做圆C1切线,切点为A。过圆C2与x正半轴焦点B做圆C2的切线,与过M并平行于x轴的直线交于B’点。则O、A、B’三点共线,∠AOx即为参数θ。

切线

1.双曲线切线定理

双曲线的任意一条切线平分切点所在的焦点三角形顶角。

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

图中∠α=∠β,对顶角相等,切线是焦点三角形的一条角平分线。

证明从略。该性质在高考中应用较少,但其揭示了双曲线的一条光学性质,该性质在高中数学课本上也有提及,即从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,其反向延长线在另一个焦点汇聚。

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

2.双曲线切线方程

过双曲线上一点P(x0,y0)的切线方程为:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

以下用求导方法给出证明:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

上述证明过程用到了隐函数求导,高中范围不涉及该知识点,有兴趣的同学可以尝试用二次函数判别式推导。

3.双曲线切点弦方程

过双曲线外一点,做双曲线上的两条切线(如果存在的话),切点为A,B,则过A,B的切点弦方程为:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

这里需要注意,过双曲线外(或上)一点做双曲线切线,最多只可能做两条切线。具体见下:

4.双曲线切线存在情况

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

如图:双曲线及渐近线将平面分成ABCDEF六个区域:

1.当P位于A、B区域时,过P可在双曲线两支各做一条切线;

2.当P位于C、D区域时,过P可在双曲线较近的一支做两条切线;

3.当P位于E、F区域时,过P不能做切线;

4.当P位于双曲线上时,过P只可在P点所在支做一条切线;

5.当P位于渐近线上(不含原点)时,过P只可在双曲线较近的一支做一条切线;

6.当P位于原点时,过P不能做切线;

具体列表如下:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

直径

过双曲线中心的弦被称为双曲线的直径。实轴是双曲线最短的直径,双曲线直径可以无限长,故双曲线没有最长的直径。双曲线直径所在直线的斜率的绝对值必然小于渐近线斜率的绝对值。

1.双曲线直径性质

双曲线上的点与双曲线直径两端点连线的斜率(如果存在的话)之积是定值,定值为e²-1。

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

特别的:双曲线上任意点到实轴两端点连线斜率之积是定值e²-1。

2.双曲线直径长

双曲线直径长公式为:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

其中k为直径所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。显然,直径存在的充要条件是|k|<b/a。

特别的:当k=0时,上式结果为2a,即为实轴;当k趋于±b/a,即渐近线斜率时,上式结果趋于无穷大。

焦半径

1.焦半径长

焦半径长:|PF1|=|ex+a|,|PF2|=|ex-a|(F1,F2分别为左右焦点,P点在右支上时,等式右端绝对值内取正,P点在左支上时取负)。

通过准线定义证明,过程略。

2.焦半径性质

以短焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切,以长焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆内切。

以P点在右支上举例进行证明:

证:设以PF2为直径的圆的圆心为O2,则圆O2半径为r2=(ex-a)/2,

以长轴为直径的圆的圆心为坐标原点O,圆O半径为r=a,

两圆心距离|OO2|=(ex+a)/2=r+r2,

故以PF2为直径的圆与以长轴为直径的圆外切。

同理可证,以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆内切。

3.焦点弦

焦点弦长公式为:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

其中k为焦点弦所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。

当|k|<b/a时,焦点在焦点弦延长线上,当|k|>b/a时,焦点在焦点弦上,当|k|=b/a时,焦点弦不存在(或无限长)

特别的:当k=0时,上式结果为2a,即为实轴;当k趋于无穷大时,上式结果即为通径长:2b^2/a

4.焦点三角形

焦点三角形面积公式:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

证明从略

双曲线与椭圆

双曲线两顶点A1,A2和与y轴平行的直线交双曲线的两动点P1,P2,直线A1P1与A2P2的交点轨迹为等轴椭圆。反之亦然。

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

其他

1.判别式

直线方程y=kx+m与双曲线方程联立后的,关于x的二次方程的判别式:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

注:双曲线在联立方程时,首先要讨论b²-a²k²是否为0,如果为0,即直线斜率与渐近线斜率一致,则联立后关于x的方程为一次方程,不存在判别式问题。

2.一般弦长公式

双曲线一般弦长公式:

双曲线准线是什么意思(双曲线的性质及其图解)

上述公式推导过程从略,显然,当m=0时,公式退化为直径公式;m=±kc,即直线过焦点时,公式退化为焦点弦公式;当|k|=b/a时,弦长不存在(或无限长)。

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