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可导的充要条件(函数在点可导的充要条件)

导数,想必大家都不陌生了吧,常见的导数有sinx求导为cosx

x的平方求导为2x,e的x次方求导仍为e的x次方等等等等

这些都是求导所得到的结果

那么,大家有没有想过求导的意义究竟是什么,答案很简单,就是求极限

那么导数呢,就是这个函数的极限值了

当然,导数有这样一个性质,不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数,若某函数在某点上有导数,我们就说这个函数在这个点上可导,反之,就是不可导

那么如果我们知道一个函数可导,我们除了能够知道这个函数能够求得导数外,还能够得到什么呢,我们还能够得到函数在这个点连续,且左导数和右导数都存在且相等

注意:可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导

话不多说,我们直接来给出一道例题

可导的充要条件(函数在点可导的充要条件)

图一

如题所示,设函数f(x)可导,它并没有说在哪个点可导,那就默认为所有点可导,那这个条件就放宽了,你可以通过举例子,总之,就是不用考虑那么多限制条件了

题目中还给出了一个条件就是f(x)f'(x)>0

这个条件告诉我们f(x)和它的导数的乘积大于零

看到这个式子,应该能够想到一点

f(x)f'(x)是由1/2f(x)^2得来的

可导的充要条件(函数在点可导的充要条件)

图二

当然,我们也可以使用排除法

比方说设f(x)=e^x,那么可以满足f(x)f'(x)=e^2x>0这个条件

代入到式子中去,可以得到f(1)=e,f(-1)=1/e,显然B、D选项就可以知道是错误的

但是光这个例子可能具有特殊性,那我们再举一个例子

比方说设f(x)=e^-x,那么也可以满足f(x)f'(x)=e^2x>0这个条件

代入到式子中去,可以得到f(1)=-e,f(-1)=-1/e,显然A选项就是错误的

最后根据排除法,得到C选项是正确的

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