1. 首页
  2. 免费论文查重资讯

海伦公式求三角形面积(三角形公式大全)

海伦公式求三角形面积(三角形公式大全)

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导(注意:公式推导过程的方法比公式更为重要)

:已知△ABC的三边为a,b,c,求△的面积S。

海伦公式求三角形面积(三角形公式大全)

分析:以a为底边,欲求△ABC的面积,只需要求得BC上高。

:不妨设BC为最大边,作△ABC的高AD(如图)。设BD=x,则DC=a-x。

由勾股定理,得

AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2,

所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2,

整理,得

2ax=a^2+c^2-b^2,

所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a,

所以AD^2= c^2-x^2

= c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2,

=1/(4a^2)•[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2]

=1/(4a^2)•(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2)

=1/(4a^2)•[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]

=1/(4a^2)•(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

=1/(4a^2)•(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c),

所以AD=1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)],

所以S=1/2•a•1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]

=1/4•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)],

令(a+b+c)/2=p(这里的p称为三角形半周长),则

a+b+c=2p,

b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a),

c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b),

a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c),

所以S=1/4•√[2p•2(p-a)•2(p-b)•2(p-c)]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].

这就是海伦公式,在我国又称为秦九韶海伦公式。公式虽然有点复杂,但和谐好记。

这个公式在实际问题中得到广泛的运用,深受民间百姓的喜爱。有了这个公式,只要将三角形三边的长一代,马上就可以算出它的面积来。由于在测量三角形土地面积时测量三边的长是最容易的,又不会存在大的争议(如果测量一边上的高往往争议不断),所以这个公式才深得人们的喜欢而广为流传。

版权声明:本站部分文章来源或改编自互联网及其他公众平台,主要目的在于分享信息,版权归原作者所有,内容仅供读者参考,如有侵权请联系我们,如若转载,请注明出处:http://www.jucailoubg.com/8043.html

发表评论

电子邮件地址不会被公开。

联系我们

400-800-8888

在线咨询:点击这里给我发消息

邮件:admin@example.com

工作时间:周一至周五,9:30-18:30,节假日休息