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偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

题型一:二重极限不存在

证明重极限不存在的常用方法是,取两种不同的路径,f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不相等或取某一路径f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不存在,均可证明重极限f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不存在。

例1:证明下列重极限不存在:

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

证明:

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

总结:利用沿不同直线趋向于点(x0,y0)时极限不相等证明重极限不存在是一种证明重极限不存在的常用方法。

题型二:求二重极限

求二重极限常用的有以下四种方法:

(1)利用极限的性质(如四则运算法则,夹逼原理);

(2)消去分母中极限为零的因子(通常采用有理化,等价无穷小代换等);

(3)转化为一元函数极限,利用一元函数求极限方法求解;

(4)利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

例2:求下列二重极限

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

解法一:

将分子有理化

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

解法二:

转化为一元函数极限

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

解法三:

利用等价无穷小代换

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

题型三:二元函数的连续性和偏导数存在性

分析:解决这一类题型的常用方法为利用函数连续和偏导数的定义。

例3:

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

解:

偏导数存在的条件(偏导数连续的条件)

总结:一般利用偏导数的定义求解。

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