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向量叉乘的几何意义(向量叉乘三阶行列式)

向量叉乘的几何意义(向量叉乘三阶行列式)

如上图所示,有一点P和线段AB,已知点P的坐标和线段两个端点(A点和B点)的坐标。

向量法判断点与线段的关系(一)

利用向量点乘的几何意义,可以比较简单求解以下几个问题:

  • 求线段AP在线段AB上的投影长度;
  • 求点P在线段AB上的投影点的坐标;
  • 判断点P的投影点是否在线段AB内;
  • 求∠PAB的角度值;
  • 判断∠PAB是锐角、直角,还是钝角。

与向量点乘类似的,可以用向量的叉乘来求解以下问题:

  • 求向量AP和AB组成的平行四边形的面积;
  • 若有另外一点Q,判断向量PQ与AB是否平行;
  • 判断点P在向量AB的左侧还是右侧。

向量叉乘的几何意义(向量叉乘三阶行列式)

向量的叉乘,又叫向量积、叉积。

向量a和向量b的叉积是一个向量,而不是一个标量。

向量a和向量b的叉积是一个法向量:

  • 该向量垂直于向量a和b构成的平面,遵循右手定则。即将右手食指指向a的方向,中指指向b的方向,则此时拇指的方向即为法向量的方向。这一定则意味着叉积满足反交换律:a x b = – b x a。
  • 该向量的模长是向量a和b组成的平行四边形的面积。

向量叉乘的几何意义(向量叉乘三阶行列式)

根据向量叉乘的几何意义,则可以知道:

1、向量叉乘的结果的模长,即为这两个向量组成的平行四边形的面积;

2、如果叉乘的结果为0,则两个向量方向相同或相反,或它们任意一个的长度为0(而点乘的结果为0,则两个向量互相垂直);

3、判断点P在向量AB的左侧还是右侧,则可根据向量 ABxAP 的叉乘结果 r 来判断,根据右手定则:

  • 若 r > 0,则点P在向量AB的左侧;
  • 若 r = 0,则点P在向量AB上;
  • 若 r < 0,则点P在向量AB的右侧。

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