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如何证明四点共圆(四点共圆14条证明方法)

一道2019年江苏南京中考试题引起了许多人的关注,下面我们就先来看一下这道题吧。

如何证明四点共圆(四点共圆14条证明方法)

这道题如果按照正常的思路求解比较困难,经过我的思考,觉得下面的方法算是比较好的。

如何证明四点共圆(四点共圆14条证明方法)

BC的最小值比较容易理解,根据三角形内大角对大边,小角对小边就可以得出BC>4,可以无限趋近,但无法等于。关键的问题是如何去求BC的最大值,如何在图中表示出BC长度的变化。我的思路是这样的:

1、先作一个60˚的角,角的顶点为C,在角的一条边上找一个点A,以A为圆心,4为半径画圈,交角的另一条边上为B,这样我们就找到了BC。这点随着A点在一条边上移动,B点就在另一条边上不断移动,BC就不断地发生变化。

2、过B点作BD垂直于AC,利用三角函数:BD/BC=sin60˚, 要使BC最大,就是使BD最大,把问题转移到求BD的最大值上。

3、在直角三角形ABD中,AB是大BD的。我们可以移动B点,A点和D点会同时发生变化,只有当A点和D点重合时,BD=AB,此时BD最大。

4、我们再根据三角函数,把BC求出来。

这个方法即使是有道理,正确的,但讲解很绕,说不清楚,理解起来困难,但下面的这个方法,就简单直接多了。它运用了定边定角对定圆的知识点。我们来看一下吧。

如何证明四点共圆(四点共圆14条证明方法)

1、我们可以做一个圆O,经过AB,而且AB所对的圆周角是60˚,这C点就在圆O上运动。

2、从图中我们可以很直观地看出,当BC是直径时最大。

3、用三角函数求出BC。

虽然下面这种方法,理解起来非常容易,但它存在一个问题,定边定角对定圆,这一个知识在数学教材中是找不到,许多同学并不知道,如果是一道需要写过程的题,这样的知识点是不能直接应用的。但中考中出现了,而且以填空题的形式出现,具体什么样的过程并不重要了。这样的题既然已经出现了,就说明,初中生对这方面的知识还是掌握一下较好。

像这种,图形中并没有圆,但解决它用到的却是圆的知识的问题,数学上把它叫做隐圆问题。要解决隐圆问题,首先要了解四点共圆的证明方法,就是首先要证明动点在圆上运动。

下面我们就来看一下四点共圆的判定方法。

四点共圆的判定方法是:对角互补的四边形的四个顶点共圆。运用的方法是反证法。

如何证明四点共圆(四点共圆14条证明方法)

1、三点确定一个圆,A,B,C在同一个圆O上。假定D点不在圆O上。

2、连接BD,交圆O于D’,可得∠B+∠D’=180˚,而∠B+∠D=180˚。

所以∠D=∠D’,而∠D不等于∠D’,所以D和D’重合。

3、所以A,B,C,D四点共圆。

4、可以按此方法证明A,B,C点在圆上。

由四点共圆的判定方法可以推导出一个重要的推论,两线段相交,一条线段两部分的乘积等于另一条线段两部分的乘积,那么两条线段四个端点共圆。如图中,若AE乘以CE=BE乘以DE,那么A,B,C,D共圆。只需两次三角形相似就可以推导出四边形的对角互补。

由推论,再进一步,我们可以得知,定边所对的相等的角的顶点和定边的两个端点在同一个圆上。下面我们来看一下。

如何证明四点共圆(四点共圆14条证明方法)

如图所示,∠ADB=∠ACB,求证A,B,C,D在同一个圆上。

1、A,B,C在圆O上。去证明D点在圆O上。

2、∠ADB=∠ACB,∠AED=∠CEB,可证得三角形相似。

3、三角形相似可证得E乘以CE=BE乘以DE。

4、所以四点共圆。

了解到这一步,我们才算真正了解了定边定角对定圆是怎么回事。我们再来看一下刚开始的题目,如果这是一道大题,因为教材中并没有讲解这些知识点,所以并不能直接应用,就需要从已有的知识一步步推算。

如何证明四点共圆(四点共圆14条证明方法)

作为大题,这道题中求BC的最大值的解题过程就是:

1、先证三角形相似。

2、得出相交线段的两部分乘积相等。

3、再由乘积相等,再证三角相似,得对应角相等。

4、由对应角相等,证出四边形对角互补。

5、由对角互补,证出共圆。

6、最后找出最大值。

如果要这样写的话,这个过程就更加的复杂,估计得写两页纸了。但中考应该不会这样出题,否则它就超纲了。

好了,关于隐圆的问题就介绍到这里,我想大家应该明白了许多,需不需要学习一下,大家心里有数。喜欢我的朋友请关注我,有我精心准备的学习资料免费赠送,大家数学学习上有问题,我很乐意提供帮助。

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