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相交弦定理证明(圆的十八个定理图解)

相交弦定理现在虽然在初中数学中已经不作要求了,但是如果能提前掌握这个知识,解题时还是会有一定优势的。

首先让我们来看看什么叫“相交弦定理”。

概念:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言:

若圆内任意弦AB、弦CD交于点P

则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

相交弦定理证明(圆的十八个定理图解)

定理的证明:

连结AC,BD

由圆周角定理的推论,得∠A=∠D,∠C=∠B。

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD(若连结AD,BC也可证明)

相交弦定理证明(圆的十八个定理图解)

例题:如图,OA和OB是圆O的半径,并且OA⊥OB。P是OA上的任意一点,BP的延长线交圆O于点Q,点R在OA的延长线上,且RP=RQ.

求证:(1)RQ是圆O的切线;(2)OB·OB=PB·PQ+OP·OP

相交弦定理证明(圆的十八个定理图解)

分析:(1)要证明切线无非是“连半径,证垂直”或“做垂直,证半径”,由于点Q已知在圆上,则属于“连半径,证垂直”。

(2)这种证明等量关系的题目,往往需要用到转化思想,这道题的关键在于PB·PQ要通过相交弦定理来转化!

相交弦定理证明(圆的十八个定理图解)

相交弦定理证明(圆的十八个定理图解)

相交弦定理证明(圆的十八个定理图解)

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