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正四面体的高怎么求(棱长为a的正四面体体积)

世界上最美的立体图形,应当属于美丽的柏拉图立体,它们分别是:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体。

由于正十二面体,正二十面体都比较复杂,在高考数学中,一般只会出现前三者的问题。那么对于考查方式,难点通常是几何体和球的关系问题,比如说外接球,内切球等,由于空间想象能力的欠缺,很多同学难以想象球和几何体的关系,导致对立体几何的学习表现的异常困难。

正四面体的高怎么求(棱长为a的正四面体体积)

如果立体几何能像平面几何那样的直观可见,相信对很多同学以及老师会有很大的帮助的。

今天我们重点介绍正四面体,和它的几个球的关系,通过一切软件方面的技术手段,我们让立体的图形不再抽象难懂,同时教大家几个结论,对于正四面体的问题,我们就可以达到秒杀的状态。

文末有个挑战题目,欢迎大家揭榜挑战!

下面,我们进入正四面体的学习。为了介绍方便,我们默认棱长为1

1. 正四面体的外接球

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结论:正四面体外接球的半径为(根号6)/4

详细过程我们就不推导了,如果大家对推导过程不是很理解,以后有机会我们可以出一期视频去介绍过程!

实战演练

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分析:本题难度不大,属于热身训练,直接应用结论就可以了!

【答案】A

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分析:本题注意语言的逻辑关系,虽然题中有“内接”的字眼,但由于四面体和球的相对位置关系,我们可以知道实际上还是正四面体的外接球问题。只不过需要根据正四面体的半径去反求正四面体的相关量!

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2.正四面体的内切球

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结论:正四面体的内切球半径为(根号6)/12

推广:事实上,正四面体的外接球和内切球半径之和为该正四面体的高,也就是说,该球的球心是在高的四等分点处!

实战演练

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分析:根据文中的“同一球面上的四个点”,我们知道这还是一道外接球的问题,但问题是球心到底面的距离,这里要求大家不要死记结论,球心到底面的距离实际上就是内切球的半径问题,所以我们根据内切球半径的结论可以快速求解!

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分析:由题意,正方体在正四面体的内切球内,求出内切球的直径,就是正方体的对角线的长,然后求出正方体的棱长.

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3.正四面体的棱切球

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结论:正四面体的棱切球半径为:(根号2)/4

实战演练

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分析:本题难度较大,首先三条射线与球相切,必然是棱切球问题,但是由于是射线,还没有相应的正四面体。这里我们需要把三条射线适当的截取一部分,使得这个球正是正四面体的棱切球。然后题中所问的OP,实际是正四面体外接球半径而已。

小伙伴可以试试,如果不依靠正四面体的结论,这道题该如何解决呢?

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接下来我们来几个综合训练

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来挑战吧

最后我们放一道关于正四面体的难题,对立体几何功底有较高的要求,大家不妨试一试!

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如果哪位同学可以解出来,欢迎评论区留言哦!

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