1. 首页
  2. 免费论文查重资讯

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

圆锥曲线是高中解析几何的重点和难点,运算量之大,相信所有经历过的学生都有感触,而正因为代数运算之繁琐,更使得代数思维在圆锥曲线这个舞台上,有了极大的发挥空间。

最早研究圆锥曲线的集大成者是古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~190年),阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽。当然,那个时候还没有平面直角坐标系,更没有解析几何的概念,但其著作中已经有了坐标制的思想,直到1800多年后的17世纪,笛卡尔建立坐标系,创立解析几何后,对圆锥曲线的研究才有了进一步的扩展。

阿波罗尼奥斯(约公元前262~190年)

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

高中阶段对圆锥曲线的学习,还处于非常基础的阶段,圆锥曲线的性质可以列出数百条,本文仅对高考考点中涉及的椭圆的部分性质进行汇总。(双曲线及抛物线的性质另文详述,欢迎大家持续关注)

注:以下仅讨论焦点在x轴上的椭圆性质。

椭圆定义

1.第一定义

平面内与两定点F1、F2的距离的和为常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆,其中2a>|F1F2|。此为课本上的标准定义,不再详述。

2.第二定义

平面内到定点F(±c,0)的距离和到定直线l:x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a(0<e<1)的点的轨迹是椭圆。其中定点F(±c,0)为椭圆的左右焦点,定直线l:x=±a²/c为椭圆的左右准线。

对第二定义给出证明:

以右焦点和右准线为例:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。

椭圆方程

1.椭圆标准方程

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

不再详述。

2.椭圆参数方程

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

其中θ为参数,θ的几何意义如下图:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

以椭圆长轴和短轴为直径分别做圆,针对椭圆上任一点M,分别向大圆与小圆做垂线,垂足分别为A,B,则ABO三点共线,∠AOx即为参数θ。

切线

1.椭圆切线定理

椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成的角相等。

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

如图,F1、F2为椭圆两焦点,AB为椭圆切线,P为切点,则∠APF1=∠BPF2。PT为P点法线,则PT为焦点三角形PF1F2的一条角平分线。

证明从略,该性质在高考中应用较少,但其揭示了椭圆的一条光学性质,该性质在高中数学课本上也有提及,即从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射后,在另一个焦点汇聚

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

2.椭圆切线方程

过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

以下用求导方法给出证明:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

上述证明过程用到了隐函数求导,高中范围不涉及该知识点,有兴趣的同学可以尝试用二次函数判别式推导。

3.椭圆切点弦方程

过椭圆外一点,做椭圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B的切点弦方程为:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

直径

过椭圆中心的弦被称为椭圆的直径。长轴是椭圆最长的直径,短轴为椭圆最短的直径。

1.椭圆直径性质

椭圆上的点与椭圆直径两端点连线的斜率(如果存在的话)之积是定值,定值为e²-1。

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

特别的:椭圆上任意点到长轴(或短轴)两端点连线斜率之积是定值e²-1。

2.椭圆直径长

椭圆直径长公式为:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

其中k为直径所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。

特别的:当k=0时,上式结果为2a,即为长轴;当k趋于无穷大时,上式结果为2b,即为短轴。

焦半径

1.焦半径长

焦半径长:|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点)

通过准线定义证明,过程略。

2.焦半径性质

以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切。

证:设以PF1为直径的圆的圆心为O1,则圆O1半径为r1=(a+ex)/2,

以长轴为直径的圆的圆心为坐标原点O,圆O半径为r=a,

两圆心距离|OO1|=(a-ex)/2=r-r1,

故以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆内切。

同理可证,PF2同样成立。

3.焦点弦长公式

焦点弦长公式为:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

其中k为焦点弦所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。

特别的:当k=0时,上式结果为2a,即为长轴;当k趋于无穷大时,上式结果即为通径长:2b^2/a

4.焦点三角形

焦点三角形面积公式:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

证明从略。

其他

1.判别式

直线方程y=kx+m与椭圆方程联立后的,关于x的二次方程的判别式:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

2.一般弦长公式

椭圆一般弦长公式:

椭圆通径公式推导(高中椭圆九个结论定理)

上述公式推导过程从略,显然,当m=0时,公式退化为直径公式,m=±kc,即直线过焦点时,公式退化为焦点弦公式。

版权声明:本站部分文章来源或改编自互联网及其他公众平台,主要目的在于分享信息,版权归原作者所有,内容仅供读者参考,如有侵权请联系我们,如若转载,请注明出处:http://www.jucailoubg.com/6306.html

发表评论

电子邮件地址不会被公开。

联系我们

400-800-8888

在线咨询:点击这里给我发消息

邮件:admin@example.com

工作时间:周一至周五,9:30-18:30,节假日休息