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二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

提要

二元一次方程组是一元一次方程知识的延续,与函数有着密切的联系,学习时应注意加强二元一次方程和二元一次方程组及它们解法的理解:消元是解方程组的基本思想,是将复杂问题简化的一种化归思想,其目的是将多元的方程组逐步转化为一元方程。选择解法时要根据二元一次方程组的系数特点,确定是使用“代入法”还是使用“加减法”来消元。

知识全解

一、二元一次方程的概念

含有两个未知数(x和y),并且未知项的指数都是1,这样的方程被叫做二元一次方程。二元一次方程的一般形式为ax+by=c(a≠0,b≠0).

提示

判断一个方程是不是二元一次方程,通常先把它化为ax+by=c的形式,再根据概念判断。构成二元一次方程的条件:是方程,方程两边都是整式,含有两个未知数,含有未知数的项的次数都是1。

二.二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值,称为二元一次方程的一个解。

提示

(1)所有二元一次方程都有无数多组解

(2)求二元一次方程的一个解时,只要任给其中一个未知数的一个数值,并把它代入方程,解关于另一个未知数的一元一次方程即可确定原二元一次方程的一组解。

三.二元一次方程组的概念

(1)把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了二元一次方程组。

(2)二元一次方程组必须满足的三个条件:含有两个未知数;含未知数的项的次数都是1;整式方程组(含两个或两个以上的整式方程)。

(3)一般形式:

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

提示

(1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程组成的,方程的个数可超过2个,其中有的方程可以是一元一次方程。

(2)在方程组的各方程中,相同的字母必须代表同一数量,否则不能将两个方程组合在一起。

四、二元一次方程组的解

一般的,使二元一次方程组中的两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值,称为二元一次方程组的解。二元一次方程组的解要用大括号“{”表示。

提示

检验一对数是不是某个二元一次方程组的解时,可将这对数值分别代入方程组中的每一个方程,只有当这对数值满足其中的所有方程时,才能说这对数值是此方程组的解。

五、代入消元法

(1)把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法称为代入消元法,简称代入法。

(2)用代入法解二元一次方程组的一般步骤如下:

①从方程组中选择一个系数较为简单的方程,然后将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来。

②用含有另一个未知数的式子代替另一个方程中的相应的未知数,从而把二元一次方程变为一元一次方程,达到消元的目的。

③解得到的一元一次方程,求出一个未知数的值。

④把求出的未知数的值代入到变形后的关系式中或原方程组的任一个方程中,求出另一个未知数。

⑤把求出的两个未知数的值用大括号的形式写出来。

提示

(1)代入消元法解方程组的关键:能够灵活“变形”和“代入”,以达到消元的目的。

(2)注意事项:

①解方程组时,不要将变形后的方程代入变形前的那个方程;

②利用已求出的未知数去求另一个未知数的值时,应代入到变形后的方程中,

计算较为简便;

③学会用检验的方法验证解方程的正确性。

六、加减消元法

(1)两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

(2)二元一次方程组加减消元法的步骤如下:

①变形:方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,则要用适当的数乘方程的两边,使一个未知数的系数互为相反数或相等。

②加减:当同一个未知数的系数互为相反数时,用加法消去这个未知数,得出关于另一个未知数的一元一次方程;当同一个未知数的系数相等时,用减法消去这个未知数,得到关于另一个未知数的一元一次方程。

③解元:解所得到的一元一次方程。

④求值:将求出的一个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解。

⑤联立:把求得的x、y的值用“{”联立起来,就是方程组的解。

提示

(1)加减消无法的关键:把方程组中两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反的数。

(2)应注意的问题:

①使某个方程乘以一个数时,应将方程两边的每一项都和这个数相乘;

②两个方程相加减时,一定要对两个方程两边分别相加减。

方法点拨

类型1 识别二元一次方程及二元一次方程组

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【解答】选A

【方法总结】识别二元一次方程组时,要注意方程中有没有二次项,有没有不是整式的项,有没有超过两个未知数的项,若存在上面现象的某一个或几个,则不是二元一次方程组。

类型2 代入消元法解二元一次方程组

例3 解方程组

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【分析】二元一次方程组中,若其中一个方程的某个未知数的系数是1或-1,则可经过变形,将它代入到另一个方程中,用代入法求解.由x+y=4变形得y=4-x ③,把③代入②即可求得x的值。

【解答】由①得:y=4-x ③

把③代入②得:2x-(4-x)=5

解得:x=3

把x=3代入③得:y=1

∴这个方程组的解为

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

例4 解方程组

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【分析】本题如果直接使用代入法解题,计算过程较繁琐,仔细观察题目可以发现两个方程中y的系数正好呈倍数关系,因此可以把6y看作一个整体代入②式

【解答】由方程①,得6y=13-5x ③

把③代入方程②,得7x+3(13-5x)=-1,整理,得8x=40

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【方法总结】用代入法解二元一次方程组时,需先观察方程组的系数特点,判断消去哪个未知数较为简单,代入消元时,要注意所代入的代数式的整体性,必要时添加括号,以避免符号错误。

类型3 加减消元法解二元一次方程组

例5 方程组

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【分析】当二元一次方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时,可以将两个方程相加或相减达到消元的目的。观察方程组,可以发现y的系数分别是3和-3,它们是一对相反数,将方程①和方程②相加就可以消去y,得到一个关于x的一元一次方程

【解答】①+②得:

3x=3,

X=1

把x=1代入方程①:

1+3y=4,

y=1

解得:

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

例6 解方程组:

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【分析】观察方程组中两个未知数的系数特点,可以发现方程②中未知数y的系数为方程①中未知数y的系数的2倍,若将方程①两边都乘2,再和方程②相加即可消去y,即利用加减消元法来解答,

【解答】①×2.得6x-10y=8 ③

②+③,得8x=24,解得x=3

把x=3代入①,得3×3-5y=4,解得y=1.

所以,这个方程组的解是

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【方法总结】此题方程组中的两个方程,两个未知数的系数分别既不相等也不互为相反数,即绝对值不相等,因此先将两个方程分别变形,使某一个未知数的系数的绝对值相等。另外,用加减法解二元一次方程组时,需注意两方程相减过程中符号的正确处理。

类型4 灵活选择适当的方法解二元一次方程组

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【分析】当方程中含有分数或小数时,可将方程化为一般形式:因方程以比例的形式出现,可引入参数k,使解题过程得到简化

【解答】方法1:(代入法)由②得x=2/3y ③

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

【方法总结】所有的二元一次方程都可以用“代入法”解,也都可以用“加减法”解。但是,通过比较,我们发现对于同一个方程组,用两种方法解有“繁”、“筒”之别,所以,应该根据方程组的结构特点,选择最优方法.同时,注意一题多解,比较各种方法之间的异同点。二元一次方程组的解法不是唯一的,要根据题目的特征灵活选择适当的方法。

类型6 二元一次方程组及其解法的应用

例8 若方程mx+ny=6的两个解是

二元一次方程求根公式(二元一次方程的通解公式)

①+②得3m=12,即m=4。

将m=4代入①得n=2。

故选A。

【方法总结】此题综合考查了二元一次方程组解的意义及二元一次方程组的解

法,解题的关键是根据二元一次方程组解的意义,将方程组的解代入方程组,得到以所求字母为未知数的新方程组。

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