1. 首页
  2. 免费论文查重资讯

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

一、定比分点

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

若,则称点为点、的定比分点.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

当时,点在线段上,称为内分点;

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

当()时,点在线段的延长线上,称为外分点.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

定比分点坐标公式:若点,,,则点的坐标为

二、点差法

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法其实可以看作是方程的相减,是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线

上,则有

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

两式作差得

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

此即有心二次曲线的垂径定理,可以解决与弦的中点相关的问题.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

1、弦的中点

点差法一个妙用:

例1 已知椭圆 ,直线 交椭圆于 两点, 为 的中点,求证: 为定值。

分析 用常规方法设直线也可以解决,但是计算就很繁杂,在这里使用点差法。

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

解 设 , ,

在椭圆上: ,

作差得:

即: ,

因为

所以 ,为定值。

以上结论与弦的中点有关,也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候, ,则 , ,正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中 同样有类似的结论,但定值为 ,在这里就不再推导了。

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

2、弦上的定比分点

当弦上的点不再是中点时,就成了定比分点:

设 , , ,则 点坐标可以表示为:

证明 设 , ,化简可得:

,同理

这时候就出现了 这样形式的式子。

如果再凑出 ,可能大家就会有点感觉了:

可以将椭圆的方程乘上一个 再作差,得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆 , 在椭圆外,过 作直线 交椭圆于 两点, 在线段 上且满足: ,求证:点 在定直线上。

分析 按照以上思路,要出现 和 这样的式子,很容易想到设 的坐标,再表示出 的坐标。

解 设 , , ,

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

则 ,结合图形得:

则 ,

在椭圆上: ①, ②

得:

,所以 在定直线 上。

下面介绍定比点差法

若点在有心二次曲线上,则有

两式作差得

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

这样就得到了

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

例7、过异于原点的点引椭圆的割线,其中点在椭圆上,点是割线上异于的一点,且满足.求证:点在直线上.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

证明:直接运用定比点差法即可.

设,则有,设,则有又因为点在椭圆上,所以有两式作差得两边同除以,即可得到命题得证.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

例8、已知椭圆,过定点的直线与椭圆交于两点(可以重合),求的取值范围.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

解析:设,,则

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

于是

,于是

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

又因为点在椭圆上,所以有

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

两式相减得

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

将(1)代入(2)中得到

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

由(1)(3)解得

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

从而解得的取值范围为

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

,于是的取值范围为

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

例9、设、为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,直线分别交椭圆于异于的点、,若,,求证:.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

证明:设,,,则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得,命题得证.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

例10、已知椭圆,点,过点作椭圆的割线,为关于轴的对称点.求证:直线恒过定点.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

解析:因为三点共线,三点也共线,且三点都在椭圆上,我们用定比点差法去解决这个问题.

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

设,,则,设与轴的交点为,,,则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

▍ 来源:综合网络

点差法公式推导(椭圆点差法公式推导过程)

版权声明:本站部分文章来源或改编自互联网及其他公众平台,主要目的在于分享信息,版权归原作者所有,内容仅供读者参考,如有侵权请联系我们,如若转载,请注明出处:http://www.jucailoubg.com/5882.html

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

联系我们

400-800-8888

在线咨询:点击这里给我发消息

邮件:admin@example.com

工作时间:周一至周五,9:30-18:30,节假日休息