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四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

我们知道圆有很多天然的性质,为什么说是天然的性质呢?那是因为圆是一种完美对称的图形,圆不但是轴对称图形,具有无数条对称轴;而且还是旋转对称图形,具有旋转不变性。

正是圆的这些性质为我们在圆中求线段长度,以及圆中倒角提供了便利,可是,你会发现大部分的几何题中并没有直接出现圆,如此利器却无用武之地,这又咋办?

这就需要你时刻保持敏锐的洞察性,发现图中的隐圆,构造辅助圆,进而帮助我们快速解题,正所谓,图中无圆,心中有圆!

所以,我们不但要把辅助圆的思想种植在大脑中,同时还要熟练掌握判定四点共圆的方法,那么,到底如何判定四点共圆呢?请看下图:

四点共圆的常见判定方法

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

上面这张图中为你总结了四点共圆的常见判定方法,前3种情况利用圆的定义可以直接得到,后面两种情况也可以利用反证法和圆幂定理证明,在此,我们不作证明,本节只讲用法,感兴趣的同学可自己探究!

最常考的是前3种情况,第一种是由一个点引出几条等长的线段,我们简称共端点,等线段。2、3两类则是双直角三角形共斜边的情况,为了简便记忆,我们也可以把2、3两种理解为4、5两种情况的特殊类型,其实就是共边所对的角变成了直角。

了解了四点共圆的基本判定,下面我们结合几道例题,具体感受下它的妙用!

四点共圆例1

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

四点共圆例2

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

四点共圆例3

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

四点共圆例4

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

以上这几道例题基本上都是2019年中考真题,题目由易到难,同学们自己可以先尝试着挑战一下,看看普通方法去做这几题会如何?如果做好了,我们再来看下面的解答图,以下例题都是利用四点共圆进行求解的,我们来看看是不是简单很多?

四点共圆例1解题图

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

例1这道题是对四点共圆的基础考查,由圆的定义即可得到四点共圆,辅助圆一旦构造出来,再根据圆内接四边形对角互补,问题立马得到解决,考试的时候其实可以快速秒杀,有没有觉得很简单?

四点共圆例2解题图

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

例2这道中考题是要求∠APD的正切值,常规的做法是构造直角三角形,然后利用全等三角形和相似三角形求得线段长度,最终求解,相对比较麻烦。但是,我们利用四点共圆就可以通过角的转移直接解决问题。

四点共圆例4解题图

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

例3这道题是让我们去证明两条线段的垂直关系,如果我们直接去倒角进行角度关系转化的话,会很不好操作,利用辅助圆思想,构造隐圆,可以直接找到角度关系,进而得证。如果这道题还不能说明什么的话,请看例4 :

四点共圆例4解题图

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

这道中考题是一道很典型的填空压轴题,对于综合能力要求较高,如果不利用四点共圆的话,普通学生很难证明△EGF是等腰直角三角形,也就很难得到∠EFG=45°,而缺少这个关键条件,后面的相似三角形就得不到证明,导致求不出线段的长度。所以,发现四点共圆对于解决此题发挥了重要的作用。

通过几道中考真题的讲解,相信同学们对于四点共圆的作用,有了更加深刻的认识,不过,能否真正用好这个利器还需要在题上练才行,下面的几道练习题赶快拿去练手吧!

四点共圆练习1

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

四点共圆练习2

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

四点根源练习3

四点共圆的性质(四点共圆的6种判定方法证明)

练习3这道题有一定的难度,对于圆的构造需要很丰富的经验和技巧,不过如果突破这个困境的话,此题将迎刃而解,孩子们,去追寻吧!

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