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等价无穷小替换公式(常用的等价无穷小公式)

在考研数学学习的过程中,一定少不了在极限的运算上费一番功夫,而极限的运用又是贯穿整个高等数学的始末,因为关于一个函数的连续、可导、可微等重要的性质都需要用极限来进行定义,所以毫不夸张的说:高数的学习大部分就是对于极限思想的运用。因此,如何学习好极限显得尤为重要。

而我们在计算极限的时候最常是用来进行简化运算的方法比如:诺必达法则、等价无穷小替换等,我相信正在考研的你已经运用的炉火纯青,特别是对于等价无穷小的替换更是得心应手,因为如果我们能在计算极限的时候使用等价无穷小替换可以省去很多麻烦。但是,everybody想过没有有些计算当中却不能替换,因为当中牵扯到——等价替换的精确度的问题,这是我们在计算极限的时候最经常出现的问题,我把它称之为“等价无穷小替换的骗局”

考研数学

等价无穷小替换公式(常用的等价无穷小公式)

话不多说,我们来一起来颠覆颠覆你的极限运算的“世界观”吧!

如下面例题所示,我采用的是我们经常使用的等价无穷小的替换,当x→0时,ln(1+x)~x,可以得到结果为a=2,b=-1,这个结果。

等价无穷小替换公式(常用的等价无穷小公式)等价无穷小替换计算

你一定对于对于这个结果深以为然吧?因为这是符合几乎很多人对于极限的计算思维。现在,我们再看看用另外一种方法计算的结果。

麦克劳林公式展开项计算

等价无穷小替换公式(常用的等价无穷小公式)

为什么两种方法计算的结果却不同(已排除计算失误)?到底是哪种方法做出来的答案有问题?

答:方法二所得出的答案是对的。

为什么呢?这就回到了我们之前讲过的那个问题:精确度。在计算极限的时候使用等价无穷小替换时,一定要考虑到精确度的问题。

那到底什么是精确度呢?在极限里面,精确度我把它理解为误差,在计算极限的时候,我们都会有意识的忽略某些“无穷小”项而使用等价无穷小进行替换,但是,往往会忽略很多不可以省略的项。如下面我们最常见的也是最常出错的极限计算:

最常见的等价无穷小替换错误

等价无穷小替换公式(常用的等价无穷小公式)

这个问题应该是我们当时做这道题所经常问到自己的问题吧:为什么之前进行等价无穷小的替代就不行,但是一变型之后就可以使用了?是不是在加减法里面就不应该使用等价无穷小进行替换,只能在乘除法里面使用呢?答案是否定的,只要是在加减法当中的运用时,我们往往会忽略一些高阶无穷小,从而造成精确度不够的情况出现,所以必须理解这些高阶无穷小对结果的影响,不能僵化的套用。

那么有没有一个方法可以避免这样的情况出现呢?有:泰勒公式,当x=0时使用麦克劳林公式(泰勒的特殊形式)。我们要用几项就可以相应的展开几项,如我们上面所讲的最常遇到的求极限出错的问题,如下图所示:

等价无穷小替换公式(常用的等价无穷小公式)麦克劳林公式计算极限

从图中可以看出,分母为3次,所以分子也应该展开到3次,保证其精确度足够。

总而言之,在极限的计算当中,千万不要盲目的使用等价无穷小进行替换,在考研的题目当中往往会给你设下这样的“陷阱”,诱惑你往下跳。所以,在每次计算完极限后你都应该问一问自己,是否精确度足够,是否可以运用等价无穷小进行替换。当然,最好的方式还是使用,泰勒公式进行展开,你需要多少精确度都可以控制,特别是在计算当x→0的极限时,更应该使用麦克劳林公式进行展开。

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