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直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

一、课本基础提炼

1. 空间几何体的三视图

(1)空间几何体的三视图是指正视图、侧视图、俯视图.

(2)三视图的排列规则是俯视图放在正视图的下方,长度与正视图一样,侧视图放在正视图的右边,高度与正视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.

(3)三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从正前方、正上方、正左方观察同一个几何体,画出空间几何体图形.

(4)球的三视图都是圆,长方体的三视图都是矩形.

(5)圆柱的正视图、侧视图都是全等的矩形,俯视图是圆.

(6)圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形,俯视图是圆和圆心.

(7)圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆.

2. 空间几何体的直观图

(1)表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图.

(2)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点,画直观图时,把它们画成对应的x’轴与y’轴,两轴相交于O’且使∠x’O’y’(或135º),用它们确定的平面表示水平面;

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x’轴或y’轴的线段;

③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

直观图与原图面积比二、二级结论必备

1. 平面图形的原图形面积与直观图面积的关系

若平面图形的面积为S,在直观图中的面积为S’,则.

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

【技能方法】

1. 空间几何体的三视图

判断物体的三视图时可以想象自己就站在物体的正前方、正左方、正上方.

例1 【2015浙江二模】将一个长方体截掉一个小长方体,所得几何体的俯视图与侧视图如图所示,则该几何体的正视图是( )

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

【答案】C

【解析】由俯视图和侧视图得,该几何体的直观图如图所示:

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

由该几何体的的直观图可知该几何体的正视图是选项C,故选C.

【点评】对于空间几何体的三视图问题,一定要注意能看到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线画成虚线.

2. 平面图形的直观图

求直观图面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底部和高,也就是在原来实际图形中的高线,在直观图中变为与水平直线成45º或135º角且长度为原来的一半线段,以此为依据来求出相应的高线即可.

例2 对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形(如图),则原图形的面积是( )

A. B.2 C. D.4

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

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【答案】C

【解析】由题意得:S直观图=1×1=1,因为,所以,故选C.

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【点评】平面图形的直观图面积的求解,要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则,注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系.

【基础达标】

1. 如图是水平放置的△ABC的直观图,A’B’//y’轴,A’B’=A’C’,则△ABC是( )

A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

【答案】B

【解析】因为A’B’//y’轴,所以还原为实际图形是AB//y轴,即∠BAC=90º,且AB=2AC,所以△ABC是直角三角形,故选B.

2.【2015上海二模】如图,下列四个几何体中,它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同,而另一个不同的两个几何体是( )

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

A.(1)、(2) B.(1)、(3) C.(2)、(3) D.(1)、(4)

【答案】A

【解析】

(1)三视图都是边长为2的正方形;

(2)正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是直径为2的圆;

(3)正视图和侧视图都是底边长和高为2的等腰三角形,俯视图是直径为 的圆和圆心;

(4)正视图和侧视图都是长为2,宽为1的矩形,俯视图是边长为2的菱形.所以三视图有且仅有两个相同,而另一个不同的两个几何体是(1)、(2),故选A.

3.【2015山东模拟】一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②正方形;③圆;④椭圆中的( )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

【答案】B

【解析】若俯视图为正方形,则正视图中的边长 不成立;若俯视图为圆,则正视图中的边长 也不成立.所以其俯视图不可能为②正方形;③圆,故选B.

4.【2015北京二模】若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( )

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

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【答案】B

【解析】

选项A的正视图是梯形,所以选项A错误;选项B的三视图符合题意,所以选项B正确;选项C的侧视图中的虚线不应为对角线,所以选项C错误;选项D的侧视图中的对角线应从左下角到右上角,所以选项D错误.故选B.

5.【2015四川联考】某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )

A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱

【答案】A

【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形,一个圆,所以圆柱的正视图不可能是三角形,而圆锥、四面体、三棱柱的正视图都有可能是三角形,故选A.

【能力提升】

1.【2015吉林月考】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的正视图是边长为4的正方形,则此正三棱柱的侧视图的面积是( )

A.16 B. C. D.

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【答案】D

【解析】由题意得:正三棱柱的侧视图是一个宽为,长为4的矩形,所以正三棱柱的侧视图的面积是,故选D.

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2. 如图,正方体ABCD-A”B’C’D’中,M、E是 的三等分点,G、N是CD的三等分点,F、H分别是BC、MN的中点,则四棱锥A’-EFGH的侧视图是( )

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【答案】C

【解析】侧视图从左向右投影,A’对应D’,E对应G,H对应N,F对应C,所以四棱锥A’-EFGH的侧视图是选项C,故选C.

3.【2015安徽联考】一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体所有棱长的取值集合是______.

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【答案】

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【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,如图所示:

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

底面正方形ABCD的边长为2,侧面PBC是等腰三角形且垂直于底面,高为2,AB⊥平面PBC,AB⊥PB,所以所以该几何体所有棱长的取值集合是.

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

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4.【2015福建阶段考】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45º,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )

A. B. C. D.

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【答案】A

【解析】由题意知:原平面图形是上底为1,下底为,高为2的直角梯形,所以原平面图形的面积是,故选A.

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【终极突破】

1.【2015豫晋冀调研】如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球相外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是( )

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【答案】B

【解析】由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切,排除C、D,把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被全挡住,由于两球不等,排除A,故选B.

2.【2015北京期末】一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是( )

A.最长棱的棱长为

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

B.最长棱的棱长为3

C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形

D.侧面四个三角形都是直角三角形

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【答案】D

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形,其中一条侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示:

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

根据三视图的数据可知最长棱的棱长为,所以选项A和选项B都错误;根据三视图可知侧面四个三角形都是直角三角形,所以选项D正确.故选D.

直观图与原图面积比(斜二测和原图面积比公式)

3.【2015辽宁联考】把矩形ABCD沿对角线BD折起,形成三棱锥C-ABD的正视图和俯视图如图所示,则侧视图的面积是______.

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【答案】

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【解析】由题意可知平面CBD⊥平面BAD,其直观图如图所示:

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由直观图知:侧视图是腰长为的等腰直角三角形,所以侧视图的面积是.

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