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三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

接着前面的节奏,本文将解读因式定理待定系数法轮换对称式这三种较为高端的方法,除了方法外,也要注重方法适用的情形,方能快速找到有效解决问题的方法。

NO.1

因式定理

因式定理,适用于一元三次多项式及部分四次多项式。

观察:x³-1=(x-1)(x²+x+1)

(x-1)是(x³-1)的一个因式,可以这么理解,对于方程x³-1=0,有一实根x=1,所以若x³-1可以分解成几个因式相乘的形式,则必有一个因式为(x-1),因为当x=1的时候,整体的结果为0啊!

猜测方程的根,从而得出多项式可能的因式,这正是因式定理作因式分解的思路。

因式定理:

对多项式f(x),若f(a)=0,则(x-a)为f(x)的因式。

通过x³-1的例子能明白这种方法的思想即可,此处就不放证明了。再举个例子吧:x³+x-2

计算发现,当x=1时,x³+x-2=0,所以(x-1)是多项式(x³+x-2)的一个因式,再运用大除法(也叫长除法)可得:x³+x-2=(x-1)(x²+x+2)

什么是大除法?和数的除法计算规则是一样的,只不过这里我们算的是整式除整式,所以取了个这样的名字作区分吧。看下具体过程,首先要对多项式降幂排列,为了便于计算,缺的项的补成系数为0的形式。

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

怎么确定a的值等于多少呢?虽然有的时候运气好可以试出来,但总归感觉没个谱。比如:2x³+5x²+x-3

代入x=1,不成立,代入x=-1,好像也不行,难不成接着试x=±2?

假设2x³+5x²+x-3可以分解为(px+q)(ax²+bx+c),我们想试出-q/p的值。考虑三次项系数2=pa,常数项-3=qc,所以p为2的因数,q为3的因数,列出所有的-q/p的可能,即±1,±3,±1/2,±3/2,虽然数量多了点,但总有一款适合这个题目,耐心一个个试就好了。

所有的三次多项式都可通过因式定理来分解吗?如果是在有理数范围内能分解的,就可以用因式定理得到答案。三次方程的根有两种情况,一个实根两个虚根,或者三个实根。

若是一实两虚且实根为有理根,则三次式分解为一次式×二次式。

若是三个实根且实根均为有理根,则三次式可分解为一次式×一次式×一次式。

但不管怎么样,终有形如(px+q)的因式,所以可通过因式定理确定p、q。

因式定理适用三次及三次以上的一元多项式,所有三次多项式因式定理都可用,原因在于三次式必然会有一次式的因式,但四次多项式就不一定了,四次式可以分解为二次式×二次式,像这样结果的式子因式定理便失效了,比如:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

代入x=±1、±2,发现多项式均不为0,只能说明该多项式无一次因式,事实上,其分解结果为:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

那对于因式定理搞定不了的四次多项式该怎么办呢?待定系数法,该你上场了!

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

NO.2

待定系数法

待定系数法:四次多项式

上述例子是怎么分解的呢?我当然不会说这是我通过整式乘法算出结果,再反过来出这个因式分解的题目。

虚根是要成对出现,无理根也是要成对出现的,所以当确定四次多项式无一次因式时,基本可以锁定结果是二次式×二次式。

设分解的结果为:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

对应系数:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

4个方程分别对应的是三次项、二次项、一次项、常数项的系数,4个字母4个方程,可解,如果数字不大的话,猜一猜答案基本就出来了。像nq=2,不是1和2,就是-1和-2了。

1637年,笛卡尔提出了这个方法求解一元四次方程的根,所以,用它来作四次式的因式分解很合理。一般来说用到待定系数法的题目不多,即便是有,也会是一些简单的数,所以明白这种方法的话就不必太担心这里的计算。

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

NO.3

轮换对称式

什么叫对称?几何里会有轴对称、中心对称等,除了图形对称之外,代数式也可以有,比如:a+b,这跟对称有啥关系?对于a+b而言,把a和b换一下位置,就会变为b+a,变换之后和之前是一样的,像这样就叫对称。

或许这个代数式感受并不深刻,没关系我们再换一个:a²+2ab+b²,将a和b调换位置变为b²+2ba+a²,和变换之前是一样的,这个式子是不是有点对称的意思了,两边都有平方,一个a²,一个b²,而中间项2ab,有a有b,很合理。

所谓对称,简单说,在这个代数式中,a和b的角色完全相同,所以可以互换位置而不改变代数式。再多熟悉熟悉,比如x²y+xy²、a³+a²b+ab²+b³是对称式,但像a²-b²、x²+xy这些不是对称式。

什么叫轮换式呢?顾名思义,轮换。观察(x-y)(y-z)(z-x),如果将x、y调换位置,就会变成(y-x)(x-z)(z-y)=-(x-y))(y-z)(z-x),所以它不是对称式,但是,如果将x→y,y→z,z→x,代数式变为(y-z)(z-x)(x-y),完全没有发生变化!像这样把所有字母轮换一圈,而结果不发生改变的式子称为轮换式。

对称式都是轮换式,但轮换式不一定是对称式。

若一个多项式是对称式(轮换式),则其分解后的因式都是对称式(轮换式)

常见的基本对称多项式:

二元:x+y,xy、x²+y²,

三元:x+y+z、xyz、x²+y²+z²、xy+yz+zx

对称多项式的分解结果往往由上述的基本对称多项式构成,所以我们需要先分析上述的基本对称多项式有哪些会是我们目标多项式的因式。

是时候看个例子了:x³+y³

如果找出可能的因式呢?需要我们稍微尝试一下。计算发现如果x=-y,则代数式x³+y³结果为0,所以x³+y³必有一个因式x+y,接下来,可设:

x³+y³=(x+y)[l(x²+y²)+mxy]

依据是x+y是一次式,所以后面必然是个二次式,而基本二次对称多项式有x²+y²和xy,所以得到上述结果,但这里还有l、m这两个系数需要确定。

法一:代入两组x、y。比如代入x=1,y=0可得:1=l;代入x=1,y=1,可得:2=2(2l+m),于是可得关于l、m的二元一次方程组:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

解之即可。

法二:根据某项系数推算,比如x³系数为1,所以l值应为1,x²y系数为0,可知m=0.

提升点难度:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

观察发现,若x=0,则代数式值为0,若x=-y,则代数式值也为0,所以必有因式:xy、x+y,还剩一个二次的因式。考虑基本二次对称多项式有

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

于是可设:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

再去两组x、y值构造关于l、m的二元一次方程组,解之即可。

同理,可分解:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

考虑四次基本对称多项式有:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

故可设

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

代入三组x、y的值,构造关于l、m、n的三元一次方程组,解之即可。

小结一下,利用轮换式与对称式解题的关键在于:

(1)猜想出部分因式,作分解的同时达到降低次数的目的;

(2)对剩余的部分用基本轮换对称式构造出来,可用待定系数法求出最终结果。

对于高次多项式的因式分解,有时候需要我们作一些适当的猜想,轮换式与对称式,从式子本身的特点出发,给予我们一个猜想其因式的方向,同时剩余的部分也有规律可循。

从一片未知中探寻出一点希望之火,便可星星之火可以燎原!

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

以上文章里讲述了一些常用的方法,除此之外,还有一些常用的式子,简单列举三例:

1

一个恒等式

一个恒等式:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

法1:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

法2:

构造根为a、b、c的方程:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

展开:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

将x=a、b、c代入得:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

将三个式子相加,可得:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

移项得:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

例题:当a+b+c=0时,求证:a²+b²+c²=3abc

证明:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

故a²+b²+c²=3abc

例题:因式分解:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

解:考虑(x-y)+(y-z)+(z-x)=0,所以

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

2三次方程x³-1=0的根为:

1、

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

,则有:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

在用因式定理试根的时候,可以考虑代入

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

,若

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

是方程根,则多项式有因式:x²+x+1.

看个例子:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

代入,得

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

,故多项式必有因式x²+x+1,接下来,拆添项看着靠谱:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

利用

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

,当多项式无一次因式时,可尝试找二次因式,给寻找因式多增加一个机会!

3

分圆多项式

分圆多项式:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

当作公式记住吧:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

例题:

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

三次方程因式分解(三次方程因式分解十字)

好啦,因式分解讲解就到这里啦~

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