1. 首页
  2. 免费论文查重资讯

secx的原函数(secx积分推导三种)

今天我们要讲的是不定积分的求解方法,希望大家能够认真学习。

secx的原函数(secx积分推导三种)

一、换元法

1.第一类换元法: 形如∫g(x)dx=∫f[z(x)]z′(x)dx=[∫f(u)du] 其中u=z(x)

例题

secx的原函数(secx积分推导三种)

secx的原函数(secx积分推导三种)

2.第二类换元法(需要令t)

(一)、根号内只有一次项和常数项的二次根式

方法:将根号整体换元来脱根号

例题:

secx的原函数(secx积分推导三种)

(二)、根号内只有二次项和常数项的二次根式 (a为常数项) 方法:

secx的原函数(secx积分推导三种)

4.如被积函数中含有 √x²±a²还可试令x=sh t或x=ch t 其中(∫sh xdx=ch x+C ∫ch xdx=sh x+C)

例题①

secx的原函数(secx积分推导三种)

secx的原函数(secx积分推导三种)

secx的原函数(secx积分推导三种)

secx的原函数(secx积分推导三种)

(三)、根式内为一般二次多项式的二次根式。

方法:将根式内配方化为根号内只有二次项和常数项。

例题:

secx的原函数(secx积分推导三种)

(四)、以下两种情况:

secx的原函数(secx积分推导三种)

例题⑤

secx的原函数(secx积分推导三种)

例题⑥

secx的原函数(secx积分推导三种)

(五)、如果被积函数为商形式,且分子次数比分母小,可试用倒代换,令x=1/t

例题:

secx的原函数(secx积分推导三种)

二、分部积分法

分部积分公式:∫udv=uv-∫vdu

使用分部积分法的常见类型:

(1)∫ 幂x指数dx 选 指数dx=dv

secx的原函数(secx积分推导三种)

(2)∫ 幂x对数dx 选 幂dx=dv

secx的原函数(secx积分推导三种)

(3)∫ 幂x三角函数dx 选 三角函数dx=dv

(如果sinx cosx遇到二次,半角公式化为一次。如果遇到三次,则先凑微分再用分部积分。secx tanx cotx cscx必须偶次)

secx的原函数(secx积分推导三种)

(4)∫ 幂x反三角函数dx 选 幂dx=dv

secx的原函数(secx积分推导三种)

(5)∫ 指数x三角函数dx (根据情况而定)

secx的原函数(secx积分推导三种)

secx的原函数(secx积分推导三种)

(6)∫secⁿxdx和∫cscⁿxdx(n为偶次时不需要用分部积分法)

secx的原函数(secx积分推导三种)

综上选择谁U谁V,看谁求导简单,谁求导简单就取为U,反之为V。例如多项式x和三角函数cosx相乘,很明显对于多项式x更容易求导,因此我们选择多项式x做为U。

三、有理函数的不定积分

本方法来自华东师范大学数学系编《数学分析·上册》(第三版),190页.

secx的原函数(secx积分推导三种)

看几个例题(知识有限,具体方法下次总结)

secx的原函数(secx积分推导三种)

secx的原函数(secx积分推导三种)

四、三角函数中的积分技巧

1.在计算∫sin²ⁿ⁺¹xdx或∫cos²ⁿ⁺¹xdx时,一般将积分∫sin²ⁿ⁺¹xdx化成-∫(1-cos²)ⁿd(cosx),将积分∫cos²ⁿ⁺¹xdx化成∫(1-sin²)ⁿd(sinx)来进行计算。

2.在计算积分∫sin²ⁿxdx或∫cos²ⁿxdx时,一般利用倍角公式进行降幂计算。

3.在计算积分∫sin(ax)cos(Bx)dx,∫sin(ax)sin(Bx)dx,∫cos(ax)cos(Bx)dx时,一般利用积化和差公式对被积函数进行变形后再计算。

4.形如∫R(sinx,cosx)dx时,一般用万能代换法,令t=tanx/2。

secx的原函数(secx积分推导三种)

例题

secx的原函数(secx积分推导三种)

5.若有R(cosx,sinx)dx=R(-cosx,-sinx)dx,可令t=tanx;

若有R(-sinx,cosx)dx=-R(-sinx,cosx)dx,可令cosx=t;

若有R(sinx,-cosx)dx=-R(sinx,cosx)dx,可令sinx=t。

例题

secx的原函数(secx积分推导三种)

另外还可以利用积分表来快速的求出一些原函数。

  • 哲学上说矛盾是具有普遍性的,因此我们要具体问题具体分析。求解不定积分的方法并不是拘泥于以上几种,我们做题时应该从题目本身的条件出发,采取灵活多变的解题方法。

参考文献(Rreference):

·[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.6

·[2]吉米多维奇等.数学分析习题集[M].北京:高等教育出版社,2010.7

·[3]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2014.7

版权声明:本站部分文章来源或改编自互联网及其他公众平台,主要目的在于分享信息,版权归原作者所有,内容仅供读者参考,如有侵权请联系我们,如若转载,请注明出处:http://www.jucailoubg.com/4511.html

发表评论

电子邮件地址不会被公开。

联系我们

400-800-8888

在线咨询:点击这里给我发消息

邮件:admin@example.com

工作时间:周一至周五,9:30-18:30,节假日休息